Геометрическое определение вероятности случайного события. Геометрическое определение вероятности события Свойства геометрической вероятности

Другая схема описания экспериментов с неоднозначно прогнозируемыми исходами, которая позволяет довольно просто ввести количественную характеристику осуществимости того или иного события - это схема геометрических вероятностей, которая, как и рассмотренная выше схема случаев, эксплуатирует идею оравновозможности исходов эксперимента. Аналогично тому, как это было проделано в схеме случаев, количественная характеристика осуществимости события - его вероятность - определяется как нормированная некоторым образом величина, пропорциональная запасу исходов, благоприятствующих осуществлению события. Пусть множество исходов исследуемого эксперимента может быть описано как множество П точек некоторого «геометрического континуума» - каждому исходу соответствует некоторая точка и каждой точке отвечает некоторый исход. В качестве «геометрического континуума» Q может выступать отрезок на прямой, дуга спрямляемой кривой на плоскости или в пространстве, квадрируемое множество на плоскости (треугольник, прямоугольник, круг, эллипс и т.п.) или часть квадрируемой поверхности, некоторый объем в пространстве (многогранник - призма, пирамида, шар, эллипсоид и т. п.) Событием назовем любое квадрируемое подмножество множества Как и в схеме случаев, событие состоит из точек-и сходов, однако уже не любая совокупность исходов образует событие, а только такая, меру которой (длину, площадь, объем) мы можем измерить. Предполагая равновозможность исходов, назовем вероятностью события А число, пропорциональное мере подмножества А множества П: Геометрические вероятности Если 0 - событие, невозможное в данном эксперименте, a Q - достоверное, то положим Р(0) = О, = 1. Вероятность любого события А будет при этом заключена между нулем - вероятностью события невозможного, и единицей - вероятностью события достоверного4*. Условие нормировки позволяет найти константу к - коэффициент пропорциональности, задающий вероятность. Он оказывается равен Таким образом, в схеме геометрических вероятностей вероятность любого события определяется как отношение меры подмножества А, описывающего событие, к мере множества il, описывающего эксперимент в целом: Отметим некоторые свойства так определенной вероятности: Свойство очевидно следует из того обстоятельства, что множество, содержащееся внутри другого, не может быть больше последнего. Как и в схеме случаев, события в схеме геометрических вероятностей можно объединять, совмещать и строить на их основе противоположные - при этом будут получаться, вообще говоря, отличные от исходных события. Следующее свойство весьма важно. 3. Если события - несовместны, то в частности, справедлив принцип дополнительности: Это свойство, называемое обычно правилом сложения вероятностей, очевидно следует из аддитивности меры5*. В заключение отметим, что вероятность осуществления любого исхода в схеме геометрических вероятностей всегда равна нулю, равно как равна нулю вероятность любого события, описываемого «тощим» множеством точек, т.е. множеством, мера которого (соответственно - длина, площадь, объем) равна нулю. Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих вычисление вероятностей в схеме геометрических вероятностей. Пример 1. Эксперимент состоит в случайном выборе точки из отрезка [а, 6|. Найти вероятность того, что выбрана точка, лежащая в левой половине рассматриваемого отрезка. 4 По определению, вероятность выбора точки из любого множества на отрезке .